Análisis de Circuitos por el Método de Nudos

El método de nudos es un procedimiento de análisis que se utiliza en teoría de circuitos. Consiste en aplicar explícitamente el primer lema de Kirchhoff a los nudos independientes del circuito (que, como vimos, son todos menos uno), de tal forma que el segundo lema de Kirchhoff resulte aplicado de un modo implícito. Antes de comenzar a resolver un circuito por el método de los nudos, se debe intentar siempre que sea posible, sustituir los generadores reales de tensión por generadores reales de corriente equivalentes. Esto siempre será posible en el caso de que los generadores presentes en la red sean reales (es decir, tengan una impedancia en serie) pero no en el caso de que sean ideales (y no se pueda aplicar la modificación de la geometría del circuito). Este caso lo veremos por separado.
Hemos de recordar que el número de ecuaciones nodales linealmente independientes de una red de n nudos es igual a n-1, lo que indica que si se toma un nudo como potencial de referencia, se podrán calcular las tensiones de los otros nudos respecto de aquel, aplicando el primer lema de Kirchhoff a los n-1 nudos restantes, dando lugar a un conjunto de ecuaciones linealmente independientes. La elección del nudo de referencia es totalmente libre, pero lo más práctico es elegir aquel nudo que tenga más ramas conectadas a él. Muchos circuitos eléctricos reales están construidos sobre una base metálica o chasis al que se conectan algunos elementos del circuito, por lo que es cómodo tomar el chasis como nudo de referencia, que en este caso, se denomina “masa”. En otros casos, que se encuentran en la Ingeniería Eléctrica de potencia, el chasis es la misma tierra y, por esta razón el nudo de referencia se conoce frecuentemente con el nombre de tierra, que se simboliza con un rayado especial.
El nudo de referencia está, por consiguiente, al potencial de tierra o potencial cero y las tensiones de los otros nudos se referirán respecto de la tensión de tierra (0v), lo que permitiría definir potenciales absolutos y no diferencia de potenciales. Para ver como se aplica el método de los nudos, vamos a considerar el circuito de la Fig. 1, formado por tres nudos, donde sólo existen generadores de corriente.

Figura 1 (Click para ampliar)

El nudo 3 se ha tomado como referencia o nudo dato que se conecta a tierra (0 voltios). Se observa que el nudo 3 es toda la rama inferior del circuito. A cada nudo asociamos una tensión (implícitamente respecto del nudo de referencia, que no se indicará: v13 -> v1 ; v23 -> v2 ; v12 -> v1 - v2 ).

Una vez tomado el nudo de referencia, y señaladas las tensiones de los demás nudos, se debe aplicar al primer lema de Kirchhoff a los nudos restantes:

Nudo 1: ig1 - i12 - i13 = 0
Nudo 2: i12 - i23 + ig2 = 0

y teniendo en cuenta que i = Y·v , se cumplirá:

i12 = Y2·(v1 - v2) ; i13 = Y1·v1 ; i23 = Y3·v2

valores que, sustituidos en las ecuaciones de nudos, y reordenando, nos dan:

Ecuacion 1

Sistema de ecuaciones con dos incógnitas (v1 y v2) que se resuelve fácilmente.

Veamos ahora lo que ocurre cuando en el circuito existe algún generador ideal de tensión que no puede reducirse a uno de corriente. Este hecho parece complicar el estudio del circuito, ya que sus corrientes no son conocidas, pues dependen del circuito exterior. Su estudio es similar al que vimos en el caso de análisis por mallas con generadores de corriente. El análisis de este tipo de circuitos sigue el desarrollo convencional, tratando a los generadores de tensión como generadores de corriente, cuyas intensidades son
desconocidas. Igual que en su caso análogo, estas intensidades son variables de paso que pueden eliminarse sumando dos a dos las ecuaciones. A las ecuaciones resultantes deben añadirse entonces las tensiones entre nudos que fijan las fuentes de tensión. La solución se obtendrá resolviendo el sistema de ecuaciones resultante.
Considérese, por ejemplo, el circuito de la Fig. 2, en el que se tienen dos generadores de tensión que no pueden transformarse en generadores de corriente. Asignaremos a estos generadores dos corrientes desconocidas ig1 i ig2 en el sentido indicado. Si se toma el nudo 4 como referencia, al aplicar el método de nudos resulta:

Figura 2 (Click para ampliar)

a)Nudo 1:

Ecuacion 2

b)Nudo 2:

Ecuacion 3

c)Nudo 3:

Ecuacion 4

y las ecuaciones que imponen los generadores:
v1 = 10v (con esta ec. No se necesita la del nudo 1)
v32 = 6v -> v3 - v2 = 6v
Si sumamos las ecuaciones 3 y 4 desaparece la variable ig2:

Ecuacion 5

que, junto con las dos anteriores ecuaciones dan la solución:

v1 = 10v ; v2 = 14v ; v3 = 20v
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