Ondas Periódicas

Como hemos visto al principio, son aquella cuyos valores se repiten a intervalos iguales de tiempo y en el mismo orden:

f(t) = f(t+T) = f(t + nT)

es una función periódica de período T.
Si T es el menor número positivo que cumple la ecuación, se le llama período propio fundamental.

Características de las Ondas Periódicas
Vamos a dar una serie de definiciones de interés para las ondas periódicas en general.
Período T: Es el tiempo que transcurre hasta que la función comienza a repetirse.

Figura 9

Ciclo: Es la parte de onda comprendida entre t y t+T.
Frecuencia f: Número de ciclos en la unidad de tiempo: f = 1/T
Fase: Es el estado de cada uno de los puntos del ciclo. Cada fase se repite a intervalos de un período: A y A’ están en fase; B y B’ están en fase; C y C’ están en fase.
Se puede definir la fase por la fracción de un período que ha transcurrido desde el instante correspondiente hasta el valor o estado que se tome como referencia.

Figura 10

Cuando existen dos funciones de igual característica f(t1) y f(t2), hay ambigüedad a la hora de determinar cual de ellas está en adelanto (Fig. 10).
Si nos fijamos, por ejemplo, en el punto D de f(t1) y f(t2) diría que f(t1) adelanta tα respecto a f(t2). Si lo hacemos con el punto D’‘ diríamos que f(t2) adelanta tβ respecto de f(t1).

Se cumple que tα + tβ = T.

Para eliminar esta ambigüedad, se toma el convenio de estudiar el retraso o adelanto con aquel tiempo tα o tβ que no exceda de T/2. En la Fig. 10, como tα < style="font-weight: bold;">

Valores Asociados a las Ondas Periódicas
Para las formas de onda periódicas podemos definir los siguientes términos:
a)Valor de cresta, máximo o pico: Son los valores máximos y mínimos que toma la función: A+c y A-c
b)Valor pico a pico o cresta a cresta (VPP): Es la diferencia A+c - A-c (considerados con signo).
c)Valor medio: Es la media aritmética de los valores que toma la onda en un periodo:

Ecuacion 8

Ecuacion 9

Geométricamente es la altura de un rectángulo que tiene como base el periodo T y la misma área que la función f(t) bajo la misma.

Ecuacion 10


d)Valor eficaz: Es el valor medio cuadrático; es decir, la raíz cuadrada del valor medio de la función al cuadrado, en un periodo.

Ecuacion 11

Ecuacion 12

Este valor es de sumo interés en las expresiones de potencia y energía. Nótese que, aunque el valor medio de algunas funciones periódicas puede ser cero, el valor eficaz nunca puede ser nulo.

e)Factor de pico o de cresta: Es la relación

Ecuacion 13

f)Factor de forma: Es la relación

Ecuacion 14

Ondas Sinusoidales. Valores Asociados.
Es un caso particular de función periódica (por lo que le son de aplicación todos los conceptos anteriores), pero excepcionalmente importante, especialmente en el campo de la electricidad.
Puede ser:

f(t) = A.sen wt
f(t) = A.cos wt

(puede usarse indistintamente la función seno o coseno).
En general:
f(t) = A.sen(wt + φ)

será la función periódica que utilizaremos con más frecuencia.
En ella:
A es la amplitud
w es la pulsación o frecuencia angular (rd/s)
wt + φ es el ángulo de fase
φ es el ángulo de fase inicial

El periodo T satisface la siguiente relación:

wT = 2π

luego

Ecuacion 15

y

Ecuacion 16

El estado o valor de esta función queda definido por el argumento (wt + φ), de aquí que se acostumbre a expresar la fase o diferencia de fases por medio de valores angulares, en lugar de hacerlo mediante valores de t. Toda fase queda determinada por un ángulo comprendido entre 0 y 2π, pero se suele utilizar el intervalo (-π, π). Es fácil pasar de valores angulares a valores de tiempo, puesto que al período T le corresponden 2π radianes.
Para abreviar, al ángulo de fase se le suele denominar simplemente fase.

Desplazamiento en el tiempo de funciones senoidales.
Sean las funciones senoidales de igual frecuencia:
f1(t) = A01 sen(wt + φ1)
f2(t) = A02 sen(wt + φ2)

Estas formas estarán en concordancia de fase para valores de t1 y t2 tales que:
w t1 + φ1 = wt2 + φ2

de donde:

Ecuacion 17

Si φ2 > φ1 ha de ser t2 < t1, esto es, la segunda función tarda menos en alcanzar un estado determinado de la senoide, luego va adelantada. Es decir, va adelantada aquella forma de onda que tenga un ángulo de fase inicial mayor.
En la Fig. 11, la función f1(t) tiene una fase inicial positiva y va adelantada respecto de f2(t), que tiene una fase inicial negativa.

Figura 11


Propiedades de las formas de onda senoidales

Como hemos dicho, las formas de onda senoidales son las más usadas en la teoría de circuitos. Las razones son las siguientes:
1. Si una red eléctrica, constituida por elementos lineales, se excita mediante una fuente de tensión o de intensidad que sea una función senoidal del tiempo, las tensiones e intensidades que se originan en todas las partes de la red son, también, pasado un corto de tiempo transitorio, funciones senoidales de t. Estas funciones se diferencian entre sí y de la función de excitación, a lo sumo en amplitudes y fases, pero tienen todas la misma frecuencia. Ninguna otra función periódica cumple esta condición.
2. Si se suman dos o más funciones senoidales, de amplitudes y fases arbitrarias, pero de la misma frecuencia, la función resultante tiene, también, forma senoidal. La amplitud y fase de esta senoide resultante depende, como es lógico, de las diversas amplitudes y fases de las senoides componentes. Su frecuencia es la de las componentes. No existe ninguna otra función periódica que presente esta propiedad.
3. La derivada de una senoide es, también, de forma senoidal. Por tanto, la integral tiene, así mismo, esta forma. La onda senoidal es la única que conserva su forma al integrarla o derivarla, y eso ocurre cualquiera que sea el número de veces que se repita una u otra operación. En realidad, de ésta y de la segunda propiedad se deduce la primera.
4. El Teorema de Fourier acerca de que cualquier función periódica (sujeta a ciertas limitaciones que se estudian en el Análisis Matemático) puede expresarse, con un error finito, pero tan pequeño como se quiera, mediante una combinación lineal de un número finito de funciones senoidales, permite reducir el estudio de las funciones periódicas al de las funciones senoidales. Además, mediante el simple artificio de considerar el periodo, de una función dada, tan grande como se quiera, se puede aplicar el mismo tipo de representación a funciones que no presenten periodicidad. Así obtenemos el importante resultado de que cualquier función del tiempo se puede expresar mediante una suma de funciones senoidales.
5. La facilidad de generación de una tensión alterna senoidal mediante un alternador.

Valores Asociados a las Formas de Onda Senoidales:
Consideremos la función f(t) = E0 sen wt.

Para esta forma de onda obtenemos:
a)Valor de cresta: Coincide con la amplitud, o sea:
Ac = E0

b)Valor de cresta a cresta: Es el doble de la amplitud, es decir:
A+ c - Ac = 2 E0

c)Valor medio: En un periodo, el valor medio es cero. En las funciones senoidales se considera el valor medio en un semiciclo, lo que permite dar un factor de forma característico de estas ondas. Se tiene, pues

Ecuacion 18

d)Valor eficaz. Aplicando la fórmula:

Ecuacion 19

luego:

Ecuacion 20

e)Factor de cresta: En las ondas senoidales se les suele llamar también factor de amplitud.

Ecuacion 21

f)Factor de forma:

Ecuacion 22

Interpretación Física de los Valores Asociados
En el caso concreto de que las ondas representen corrientes, los conceptos de valor medio y eficaz tienen un significado físico importante, ya que el valor medio indica el valor constante Im de una corriente continua que produce la misma cantidad de electricidad en el periodo T que la onda periódica; mientras que el valor eficaz indica el valor constante I de una corriente continua que produce la misma cantidad de calor en el periodo T que la corriente periódica, al circular por una resistencia. También puede indicarse que el primer término del desarrollo en serie de Fourier de una función periódica coincide con la definición de valor medio y, en electrónica, se le suele determinar componente de continua, sobre todo en el campo de los rectificadores. Así mismo, en ese campo se utilizan el factor de forma y un derivado suyo, el factor de rizado (r), que, como su nombre indica, nos da una idea del rizado de la señal rectificada de salida. Dicho factor se define como el cociente entre la componente de alterna y la de continua de una señal:

Ecuacion 23

(obsérvese que la componente de alterna de una señal la hemos puesto como la corriente total, menos la de continua). Como es obvio, cuando la señal es de continua, se tendrá que los valores medio y eficaz coinciden, con lo cual el factor de forma (que siempre es mayor o igual que uno) será la unidad y, por tanto, el factor de rizado será nulo.
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