Introducción

En los circuitos eléctricos, las funciones de excitación y respuesta son tensiones e intensidades que varían con el tiempo:

u = u(t) I = i(t)

Estas funciones pueden representarse de forma gráfica o analítica. En ambos casos nos referiremos a esa relación funcional mediante el nombre "forma de onda".
Llamaremos derivada respecto al tiempo de una forma de onda a la expresión analítica de la derivada o bien a la representación gráfica de ésta última.

Las ondas utilizadas en circuitos pueden clasificarse en primer lugar según el signo de la magnitud que la representa, y así se tienen:

• Ondas bidireccionales de corriente alterna, en la que la magnitud toma valores positivos y negativos.

• Ondas unidireccionales, en las que la magnitud que la representa siempre tiene una única polaridad.

Otra clasificación que podríamos hacer es en:

• Ondas periódicas, que se repiten a intervalos regulares de tiempo.

• Ondas no periódicas, que no presentan ciclos de repetición.

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Formas de Onda Básicas

En el estudio de circuitos, son de especial interés las formas de onda en escalón, rampa, pulsos e impulsos.

Función Escalón
Esta función vale 0 para tiempos negativos y una cantidad constante A para tiempos positivos (más adelante definiremos escalones desplazados en el tiempo).

Figura 1

Su expresión matemática podemos verla en la ecuación (1):

Ecuacion 1

Se observa que en t=0, esta función presenta una discontinuidad, por lo que su derivada no existirá en dicho punto. Podemos avanzar que la derivada de la función escalón será la función impulso (o delta de Dirac), que veremos posteriormente. Cuando A = 1, la función recibe el nombre de escalón unitario y se utiliza el símbolo U(t). En los textos de ámbito matemático, esta función recibe el nombre de función de Heaviside, y se la representa como H(t).
Podemos considerar cualquier función escalón como el producto de una constante (que llamaremos amplitud) por la función escalón unitario. En general, multiplicar una función por la función escalón unitario se asocia a asignar el valor cero para t<0>0.

Función Rampa
La forma de esta función en la indicada en la Fig. 2.

Figura 2

Matemáticamente la podemos expresar de la siguiente forma:

Ecuacion 2

Como es obvio, la función derivada de la función rampa (que sí es una función continua) es la función escalón.

Función Rampa Modificada
En este caso, la función está indicada en la Fig. 3 y su expresión matemática viene dada por la ecuación (3).

Figura 3

Ecuacion 3

También avanzamos que su función derivada es un pulso rectangular.

Pulso Rectangular Esta forma de onda tan utilizada en electrónica, se representa en la Fig. 4 y su expresión matemática viene dada por la ecuación (4).

Figura 4

Ecuacion 4

Diremos que la anchura del pulso (o duración del pulso) es T = t1 - t0.

Función Impulso o Delta de Dirac
Esta función (que en realidad es lo que en matemáticas se denomina una distribución de funciones) se representa de la forma indicada en la Fig. 5.

Figura 5

Matemáticamente es la más compleja de las vistas hasta ahora (de hecho no tiene sentido como función convencional), pero podemos expresarla de la forma:

Ecuacion 5

verificando que:

Ecuacion 6

Puede demostrarse que la derivada de la función escalón es la función delta de Dirac.

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Consideraciones Comunes a las Ondas

En este apartado vamos a ver algunas consideraciones generales sobre ondas (más concretamente sobre funciones matemáticas), como son la continuidad, los desplazamientos en el tiempo y operaciones con ondas.

Ondas Continuas y Discontinuas
La continuidad es una de las condiciones mínimas que se suele exigir a una función matemática, para operar con ella (podemos recordar aquí que el grupo de funciones continuas es lo que -aproximadamente- conocen los matemáticos como funciones de clase C0).
Explícitamente, podemos decir que una función, cuya gráfica tenemos a la vista, como las vistas hasta ahora, es continua, si podemos dibujarla enteramente sin levantar el lápiz del papel (ni realizar trazos verticales).
Matemáticamente, las discontinuidades tienen una clasificación que no vamos a recordar, pero que, a "grosso modo" nos indican el "calibre" de tal discontinuidad. Esencialmente, ésta puede ser finita o infinita. Vemos que para el caso del escalón, se presenta una discontinuidad finita, mientras que para la función impulso, dicha discontinuidad es infinita.
Cuando una función es discontinua en un punto, la primera consecuencia es que dicha función no es derivable en dicho punto (no es de clase C1), ya que uno de los requisitos que exige la derivabilidad es la continuidad. Pero ello no quiere decir que toda función continua sea derivable. Por ejemplo, la función rampa es una función continua, pero no es derivable en el punto cero (concretamente, el límite que en definitiva es la derivada, existe tanto por la izquierda como por la derecha, pero no coinciden).
Conviene recordar que la derivada de una función en un punto es la tangente trigonométrica de la tangente geométrica a la función en dicho punto con el eje de abcisas. Se ve claramente que las tangentes de la función rampa a la izquierda de 0 y a la derecha existen, pero son distintas.
A pesar de todo, podemos considerar que la derivada en un punto de discontinuidad será, en general, una función impulso. Denominaremos fuerza del impulso al valor del salto en el punto de discontinuidad (de su función primitiva):

Desplazamiento del Origen de Tiempos
Una función puede adelantarse en el tiempo si se desplaza el eje de ordenadas en una cantidad +td. También puede atrasarse si se desplaza el mismo eje una cantidad.

Operaciones Básicas con Ondas

Figura 6

En este apartado vamos a ver algunos ejemplos usuales de sumas y restas de ondas que, juntamente con los desplazamientos de origen, nos permitirán construir otras ondas de interés. La suma o resta de funciones puede realizarse analíticamente sumando o restando las diferentes funciones en sus intervalos de definición, o bien, gráficamente, sumando o restando punto a punto las ondas. Veamos un ejemplo:

Figura 7

Integración y Derivación de Ondas
La derivada de una onda se obtiene derivando la función en los intervalos de definición. La función derivada tendrá una forma diferente (en general), pero sus ordenadas serán igual a la pendiente en cada punto de la función original. Como ya indicamos, la derivada de la función rampa modificada, cuya ecuación era la número (3), es la función pulso rectangular, dada en la ecuación (4). Y la derivada de la función escalón, dada por la ecuación (1), es la función impulso (ecuación (5)). Si hay puntos de discontinuidad (como en este último caso), con valores definidos en ambos lados (esto es, la función no presenta una discontinuidad infinita), la función derivada se representa por la función impulso y es (su integral) el valor del salto en dicho punto. En cuanto a la integración de funciones, la integral de una onda f1(t) será otra onda f2(t) que será integral de la primera en sus distintos intervalos de definición. Su representación será una gráfica que en cualquier punto A tendrá el valor igual al área total comprendida bajo la función original f1(t) entre los valores t = -∞ y t = A.
Veamos el ejemplo de la Fig. 8:

Figura 8

Las ecuaciones que definen ambas funciones son:

Ecuacion 7

El proceso de integración de una onda supone realizar una acción de alisamiento con relación a la onda original y el efecto de derivar es a la inversa, con producción de discontinuidades en los puntos en que la onda original se representan puntos angulosos.

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Ondas Periódicas

Como hemos visto al principio, son aquella cuyos valores se repiten a intervalos iguales de tiempo y en el mismo orden:

f(t) = f(t+T) = f(t + nT)

es una función periódica de período T.
Si T es el menor número positivo que cumple la ecuación, se le llama período propio fundamental.

Características de las Ondas Periódicas
Vamos a dar una serie de definiciones de interés para las ondas periódicas en general.
Período T: Es el tiempo que transcurre hasta que la función comienza a repetirse.

Figura 9

Ciclo: Es la parte de onda comprendida entre t y t+T.
Frecuencia f: Número de ciclos en la unidad de tiempo: f = 1/T
Fase: Es el estado de cada uno de los puntos del ciclo. Cada fase se repite a intervalos de un período: A y A’ están en fase; B y B’ están en fase; C y C’ están en fase.
Se puede definir la fase por la fracción de un período que ha transcurrido desde el instante correspondiente hasta el valor o estado que se tome como referencia.

Figura 10

Cuando existen dos funciones de igual característica f(t1) y f(t2), hay ambigüedad a la hora de determinar cual de ellas está en adelanto (Fig. 10).
Si nos fijamos, por ejemplo, en el punto D de f(t1) y f(t2) diría que f(t1) adelanta tα respecto a f(t2). Si lo hacemos con el punto D’‘ diríamos que f(t2) adelanta tβ respecto de f(t1).

Se cumple que tα + tβ = T.

Para eliminar esta ambigüedad, se toma el convenio de estudiar el retraso o adelanto con aquel tiempo tα o tβ que no exceda de T/2. En la Fig. 10, como tα < style="font-weight: bold;">

Valores Asociados a las Ondas Periódicas
Para las formas de onda periódicas podemos definir los siguientes términos:
a)Valor de cresta, máximo o pico: Son los valores máximos y mínimos que toma la función: A+c y A-c
b)Valor pico a pico o cresta a cresta (VPP): Es la diferencia A+c - A-c (considerados con signo).
c)Valor medio: Es la media aritmética de los valores que toma la onda en un periodo:

Ecuacion 8

Ecuacion 9

Geométricamente es la altura de un rectángulo que tiene como base el periodo T y la misma área que la función f(t) bajo la misma.

Ecuacion 10

d)Valor eficaz: Es el valor medio cuadrático; es decir, la raíz cuadrada del valor medio de la función al cuadrado, en un periodo.

Ecuacion 11

Ecuacion 12

Este valor es de sumo interés en las expresiones de potencia y energía. Nótese que, aunque el valor medio de algunas funciones periódicas puede ser cero, el valor eficaz nunca puede ser nulo.

e)Factor de pico o de cresta: Es la relación

Ecuacion 13

f)Factor de forma: Es la relación

Ecuacion 14

Ondas Sinusoidales. Valores Asociados.
Es un caso particular de función periódica (por lo que le son de aplicación todos los conceptos anteriores), pero excepcionalmente importante, especialmente en el campo de la electricidad.
Puede ser:

f(t) = A.sen wt
f(t) = A.cos wt

(puede usarse indistintamente la función seno o coseno).
En general:
f(t) = A.sen(wt + φ)

será la función periódica que utilizaremos con más frecuencia.
En ella:
A es la amplitud
w es la pulsación o frecuencia angular (rd/s)
wt + φ es el ángulo de fase
φ es el ángulo de fase inicial

El periodo T satisface la siguiente relación:

wT = 2π

luego

Ecuacion 15

y

Ecuacion 16

El estado o valor de esta función queda definido por el argumento (wt + φ), de aquí que se acostumbre a expresar la fase o diferencia de fases por medio de valores angulares, en lugar de hacerlo mediante valores de t. Toda fase queda determinada por un ángulo comprendido entre 0 y 2π, pero se suele utilizar el intervalo (-π, π). Es fácil pasar de valores angulares a valores de tiempo, puesto que al período T le corresponden 2π radianes.
Para abreviar, al ángulo de fase se le suele denominar simplemente fase.

Desplazamiento en el tiempo de funciones senoidales.
Sean las funciones senoidales de igual frecuencia:
f1(t) = A01 sen(wt + φ1)
f2(t) = A02 sen(wt + φ2)

Estas formas estarán en concordancia de fase para valores de t1 y t2 tales que:
w t1 + φ1 = wt2 + φ2

de donde:

Ecuacion 17

Si φ2 > φ1 ha de ser t2 < t1, esto es, la segunda función tarda menos en alcanzar un estado determinado de la senoide, luego va adelantada. Es decir, va adelantada aquella forma de onda que tenga un ángulo de fase inicial mayor.
En la Fig. 11, la función f1(t) tiene una fase inicial positiva y va adelantada respecto de f2(t), que tiene una fase inicial negativa.

Figura 11

Propiedades de las formas de onda senoidales
Como hemos dicho, las formas de onda senoidales son las más usadas en la teoría de circuitos. Las razones son las siguientes:
1. Si una red eléctrica, constituida por elementos lineales, se excita mediante una fuente de tensión o de intensidad que sea una función senoidal del tiempo, las tensiones e intensidades que se originan en todas las partes de la red son, también, pasado un corto de tiempo transitorio, funciones senoidales de t. Estas funciones se diferencian entre sí y de la función de excitación, a lo sumo en amplitudes y fases, pero tienen todas la misma frecuencia. Ninguna otra función periódica cumple esta condición.
2. Si se suman dos o más funciones senoidales, de amplitudes y fases arbitrarias, pero de la misma frecuencia, la función resultante tiene, también, forma senoidal. La amplitud y fase de esta senoide resultante depende, como es lógico, de las diversas amplitudes y fases de las senoides componentes. Su frecuencia es la de las componentes. No existe ninguna otra función periódica que presente esta propiedad.
3. La derivada de una senoide es, también, de forma senoidal. Por tanto, la integral tiene, así mismo, esta forma. La onda senoidal es la única que conserva su forma al integrarla o derivarla, y eso ocurre cualquiera que sea el número de veces que se repita una u otra operación. En realidad, de ésta y de la segunda propiedad se deduce la primera.
4. El Teorema de Fourier acerca de que cualquier función periódica (sujeta a ciertas limitaciones que se estudian en el Análisis Matemático) puede expresarse, con un error finito, pero tan pequeño como se quiera, mediante una combinación lineal de un número finito de funciones senoidales, permite reducir el estudio de las funciones periódicas al de las funciones senoidales. Además, mediante el simple artificio de considerar el periodo, de una función dada, tan grande como se quiera, se puede aplicar el mismo tipo de representación a funciones que no presenten periodicidad. Así obtenemos el importante resultado de que cualquier función del tiempo se puede expresar mediante una suma de funciones senoidales.
5. La facilidad de generación de una tensión alterna senoidal mediante un alternador.

Valores Asociados a las Formas de Onda Senoidales:
Consideremos la función f(t) = E0 sen wt.

Para esta forma de onda obtenemos:
a)Valor de cresta: Coincide con la amplitud, o sea:
Ac = E0

b)Valor de cresta a cresta: Es el doble de la amplitud, es decir:
A+ c - Ac = 2 E0

c)Valor medio: En un periodo, el valor medio es cero. En las funciones senoidales se considera el valor medio en un semiciclo, lo que permite dar un factor de forma característico de estas ondas. Se tiene, pues

Ecuacion 18

d)Valor eficaz. Aplicando la fórmula:

Ecuacion 19

luego:

Ecuacion 20

e)Factor de cresta: En las ondas senoidales se les suele llamar también factor de amplitud.

Ecuacion 21

f)Factor de forma:

Ecuacion 22

Interpretación Física de los Valores Asociados
En el caso concreto de que las ondas representen corrientes, los conceptos de valor medio y eficaz tienen un significado físico importante, ya que el valor medio indica el valor constante Im de una corriente continua que produce la misma cantidad de electricidad en el periodo T que la onda periódica; mientras que el valor eficaz indica el valor constante I de una corriente continua que produce la misma cantidad de calor en el periodo T que la corriente periódica, al circular por una resistencia. También puede indicarse que el primer término del desarrollo en serie de Fourier de una función periódica coincide con la definición de valor medio y, en electrónica, se le suele determinar componente de continua, sobre todo en el campo de los rectificadores. Así mismo, en ese campo se utilizan el factor de forma y un derivado suyo, el factor de rizado (r), que, como su nombre indica, nos da una idea del rizado de la señal rectificada de salida. Dicho factor se define como el cociente entre la componente de alterna y la de continua de una señal:

Ecuacion 23

(obsérvese que la componente de alterna de una señal la hemos puesto como la corriente total, menos la de continua). Como es obvio, cuando la señal es de continua, se tendrá que los valores medio y eficaz coinciden, con lo cual el factor de forma (que siempre es mayor o igual que uno) será la unidad y, por tanto, el factor de rizado será nulo.

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