En este apartado vamos a ver algunas consideraciones generales sobre ondas (más concretamente sobre funciones matemáticas), como son la continuidad, los desplazamientos en el tiempo y operaciones con ondas.
Ondas Continuas y Discontinuas
La continuidad es una de las condiciones mínimas que se suele exigir a una función matemática, para operar con ella (podemos recordar aquí que el grupo de funciones continuas es lo que -aproximadamente- conocen los matemáticos como funciones de clase C0).
Explícitamente, podemos decir que una función, cuya gráfica tenemos a la vista, como las vistas hasta ahora, es continua, si podemos dibujarla enteramente sin levantar el lápiz del papel (ni realizar trazos verticales).
Matemáticamente, las discontinuidades tienen una clasificación que no vamos a recordar, pero que, a "grosso modo" nos indican el "calibre" de tal discontinuidad. Esencialmente, ésta puede ser finita o infinita. Vemos que para el caso del escalón, se presenta una discontinuidad finita, mientras que para la función impulso, dicha discontinuidad es infinita.
Cuando una función es discontinua en un punto, la primera consecuencia es que dicha función no es derivable en dicho punto (no es de clase C1), ya que uno de los requisitos que exige la derivabilidad es la continuidad. Pero ello no quiere decir que toda función continua sea derivable. Por ejemplo, la función rampa es una función continua, pero no es derivable en el punto cero (concretamente, el límite que en definitiva es la derivada, existe tanto por la izquierda como por la derecha, pero no coinciden).
Conviene recordar que la derivada de una función en un punto es la tangente trigonométrica de la tangente geométrica a la función en dicho punto con el eje de abcisas. Se ve claramente que las tangentes de la función rampa a la izquierda de 0 y a la derecha existen, pero son distintas.
A pesar de todo, podemos considerar que la derivada en un punto de discontinuidad será, en general, una función impulso. Denominaremos fuerza del impulso al valor del salto en el punto de discontinuidad (de su función primitiva):
Desplazamiento del Origen de Tiempos
Una función puede adelantarse en el tiempo si se desplaza el eje de ordenadas en una cantidad +td. También puede atrasarse si se desplaza el mismo eje una cantidad.
Operaciones Básicas con Ondas
Figura 6
En este apartado vamos a ver algunos ejemplos usuales de sumas y restas de ondas que, juntamente con los desplazamientos de origen, nos permitirán construir otras ondas de interés. La suma o resta de funciones puede realizarse analíticamente sumando o restando las diferentes funciones en sus intervalos de definición, o bien, gráficamente, sumando o restando punto a punto las ondas. Veamos un ejemplo:
Figura 7
Integración y Derivación de Ondas
La derivada de una onda se obtiene derivando la función en los intervalos de definición. La función derivada tendrá una forma diferente (en general), pero sus ordenadas serán igual a la pendiente en cada punto de la función original. Como ya indicamos, la derivada de la función rampa modificada, cuya ecuación era la número (3), es la función pulso rectangular, dada en la ecuación (4). Y la derivada de la función escalón, dada por la ecuación (1), es la función impulso (ecuación (5)). Si hay puntos de discontinuidad (como en este último caso), con valores definidos en ambos lados (esto es, la función no presenta una discontinuidad infinita), la función derivada se representa por la función impulso y es (su integral) el valor del salto en dicho punto. En cuanto a la integración de funciones, la integral de una onda f1(t) será otra onda f2(t) que será integral de la primera en sus distintos intervalos de definición. Su representación será una gráfica que en cualquier punto A tendrá el valor igual al área total comprendida bajo la función original f1(t) entre los valores t = -∞ y t = A.
Veamos el ejemplo de la Fig. 8:
Figura 8
Las ecuaciones que definen ambas funciones son:
Ecuacion 7
El proceso de integración de una onda supone realizar una acción de alisamiento con relación a la onda original y el efecto de derivar es a la inversa, con producción de discontinuidades en los puntos en que la onda original se representan puntos angulosos.
Ondas Continuas y Discontinuas
La continuidad es una de las condiciones mínimas que se suele exigir a una función matemática, para operar con ella (podemos recordar aquí que el grupo de funciones continuas es lo que -aproximadamente- conocen los matemáticos como funciones de clase C0).
Explícitamente, podemos decir que una función, cuya gráfica tenemos a la vista, como las vistas hasta ahora, es continua, si podemos dibujarla enteramente sin levantar el lápiz del papel (ni realizar trazos verticales).
Matemáticamente, las discontinuidades tienen una clasificación que no vamos a recordar, pero que, a "grosso modo" nos indican el "calibre" de tal discontinuidad. Esencialmente, ésta puede ser finita o infinita. Vemos que para el caso del escalón, se presenta una discontinuidad finita, mientras que para la función impulso, dicha discontinuidad es infinita.
Cuando una función es discontinua en un punto, la primera consecuencia es que dicha función no es derivable en dicho punto (no es de clase C1), ya que uno de los requisitos que exige la derivabilidad es la continuidad. Pero ello no quiere decir que toda función continua sea derivable. Por ejemplo, la función rampa es una función continua, pero no es derivable en el punto cero (concretamente, el límite que en definitiva es la derivada, existe tanto por la izquierda como por la derecha, pero no coinciden).
Conviene recordar que la derivada de una función en un punto es la tangente trigonométrica de la tangente geométrica a la función en dicho punto con el eje de abcisas. Se ve claramente que las tangentes de la función rampa a la izquierda de 0 y a la derecha existen, pero son distintas.
A pesar de todo, podemos considerar que la derivada en un punto de discontinuidad será, en general, una función impulso. Denominaremos fuerza del impulso al valor del salto en el punto de discontinuidad (de su función primitiva):
Desplazamiento del Origen de Tiempos
Una función puede adelantarse en el tiempo si se desplaza el eje de ordenadas en una cantidad +td. También puede atrasarse si se desplaza el mismo eje una cantidad.
Operaciones Básicas con Ondas
Figura 6En este apartado vamos a ver algunos ejemplos usuales de sumas y restas de ondas que, juntamente con los desplazamientos de origen, nos permitirán construir otras ondas de interés. La suma o resta de funciones puede realizarse analíticamente sumando o restando las diferentes funciones en sus intervalos de definición, o bien, gráficamente, sumando o restando punto a punto las ondas. Veamos un ejemplo:
Figura 7Integración y Derivación de Ondas
La derivada de una onda se obtiene derivando la función en los intervalos de definición. La función derivada tendrá una forma diferente (en general), pero sus ordenadas serán igual a la pendiente en cada punto de la función original. Como ya indicamos, la derivada de la función rampa modificada, cuya ecuación era la número (3), es la función pulso rectangular, dada en la ecuación (4). Y la derivada de la función escalón, dada por la ecuación (1), es la función impulso (ecuación (5)). Si hay puntos de discontinuidad (como en este último caso), con valores definidos en ambos lados (esto es, la función no presenta una discontinuidad infinita), la función derivada se representa por la función impulso y es (su integral) el valor del salto en dicho punto. En cuanto a la integración de funciones, la integral de una onda f1(t) será otra onda f2(t) que será integral de la primera en sus distintos intervalos de definición. Su representación será una gráfica que en cualquier punto A tendrá el valor igual al área total comprendida bajo la función original f1(t) entre los valores t = -∞ y t = A.
Veamos el ejemplo de la Fig. 8:
Figura 8Las ecuaciones que definen ambas funciones son:
Ecuacion 7El proceso de integración de una onda supone realizar una acción de alisamiento con relación a la onda original y el efecto de derivar es a la inversa, con producción de discontinuidades en los puntos en que la onda original se representan puntos angulosos.
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