Análisis de Redes Mediante Ecuaciones de Variables de Rama

El primer paso para el análisis de un circuito está en la determinación de todas las ecuaciones disponibles, de las cuales, posiblemente algunas sean combinaciones lineales del resto, por lo que el paso definitivo será encontrar cuales de entre todas son ecuaciones linealmente independientes.

Número de Ecuaciones Disponibles

Estudiaremos este problema sobre el grafo de un circuito genérico. Admitiremos de momento, que tal circuito es pasivo, y que si hay corrientes circulando por sus ramas, y tensiones entre sus nudos, es debido a la energía inicial almacenada en sus condensadores y en sus bobinas. Posteriormente trataremos el caso general en que existan fuentes de tensión y de intensidad.
Si el circuito tiene r ramas, hay 2r incógnitas, una tensión y una intensidad por cada rama.
Aplicando la primera ley de Kirchhoff a cada nudo, podemos formular n ecuaciones nodales, y aplicando la segunda ley a cada lazo podemos escribir otras l ecuaciones circulares.
Además, en cada rama, por ejemplo la k-ésima, conocemos la relación uk = uk (ik).
Disponemos, pues, de otras r ecuaciones y, en total, de l+n+r

Ecuaciones Independientes

Para formar un sistema de ecuaciones que sea determinado, necesitamos elegir 2r ecuaciones independientes de entre las (l+n+r).

a)Elección de las ecuaciones nodales:
Existen varios métodos para determinar el número de ecuaciones nodales linealmente independientes, pero nosotros usaremos el métodos de los nudos, junto con un teorema que nos dice que "el número máximo de ecuaciones nodales linealmente independientes, en un circuito conexo de n nudos, es n-1". Este método consiste en escribir las ecuaciones nodales correspondientes a todos los nudos menos a uno (existe otro teorema que dice que "en un circuito conexo de n nudos, todo conjunto de n-1 ecuaciones, formadas aplicando la primera ley de Kirchhoff a todos los nudos menos uno, forman un sistema de ecuaciones linealmente independientes").

b)Ecuaciones circulares:
Hemos visto que de las r ecuaciones linealmente independientes, n-1 se obtienen por aplicación de la primera ley de Kirchhoff (ecuaciones nodales). El número máximo de ecuaciones linealmente independientes que podrán obtenerse aplicando la 2ª ley de Kirchhoff (ecuaciones circulares), será, por tanto, r-(n-1). De nuevo, existen dos métodos para esta determinación. Utilizaremos el método de las mallas, el cual se aplica solamente a circuitos planos, y consiste en escribir las ecuaciones correspondientes a todas las mallas. Esto es posible por la existencia de estos dos teoremas:
Teorema: "El número de mallas m de un circuito plano, conexo, de r ramas y n nudos, es igual al de lazos básicos, es decir: m = r - (n - 1)".
Teorema: "Las ecuaciones formadas escribiendo la segunda ley de Kirchhoff para cada malla, son linealmente independientes".

Análisis de Redes. Aplicación

Vamos a ver el procedimiento indicado, para un grafo determinado (el cual no contiene elementos activos). Calcularemos primeramente las ecuaciones nodales y luego las circulares, todo ello para el circuito de la Fig. 3.

Figura 3 (Click para ampliar)

a)Las ecuaciones nodales linealmente independientes se obtienen aplicando la 1ª ley de Kirchhoff para tres nudos (A, B y C, por ejemplo) de la Fig. 3a:

Nudo A: -i1 + i4 - i5 - i6 = 0
Nudo B: i1 + i2 + i5 = 0
Nudo C: -i2 + i3 + i6 -i7 = 0
(La ecuación, innecesaria, del nudo D sería: -i3 - i4 + i7 = 0)

b)Las ecuaciones circulares linealmente independientes se obtienen aplicando la 2ª ley de Kirchhoff a 4 mallas del circuito de la Fig. 3b (para ello elegimos como intensidades de malla las indicadas a trazos).
Malla 1: u1 - u5 = 0
Malla 2: -u2 + u5 - u6 = 0
Malla 3: u4 + u6 + u7 = 0
Malla 4: - u3 - u7 = 0

Solamente nos faltaría sustituir la ecuación de cada elemento, esto es:

Ecuacion 1

o bien:

Ecuacion 2

(siempre que la flecha de i y de u apunten en el mismo sentido) Con esto, podríamos resolver completamente el circuito, ya que nos queda un sistema de siete ecuaciones con siete incógnitas.
Análisis de Redes Mediante Ecuaciones de Variables de Rama - Circuitos de Electronica