Asociación de Elementos Pasivos

En esta seccion hablaremos de las formas en que pueden asociarse los elementos pasivos, en sus formas básicas: serie, paralelo, triángulo y estrella. Veremos como puede obtenerse un circuito equivalente a otro dado, mediante técnicas de asociación entre éstos.
A menudo, en el análisis de circuitos, el ingeniero puede sustituir una parte del circuito por otra equivalente que sea más sencilla. Lo que haga que dos circuitos sean
equivalentes reside en su relación i-v, según se desprende de la definición siguiente:
Se dice que dos circuitos son equivalentes si tienen características i-v coincidentes en un par de terminales determinado. Nótese que esa definición puede incorporar perfectamente también elementos activos. Solamente resta matizar que equivalencia no significa igualdad.

Los conceptos de equivalencia serie/paralelo, la división de tensión/corriente y las transformaciones de fuentes se pueden utilizar para analizar algunos circuitos. La estrategia fundamental del análisis consiste en reducir el circuito a otro equivalente más sencillo en el cual la salida buscada se encuentre fácilmente por división de tensión o de intensidad, o incluso, tal vez, mediante la ley de Ohm. No existe ninguna norma fija para el proceso de reducción y éste depende en gran manera de la "vista" del analista. Ahora bien, en todo caso, en la reducción del circuito trabajamos directamente con el modelo de circuito y así el proceso nos permite profundizar en el comportamiento del mismo.

Asociación Serie y Asociación Paralelo

Asociación Serie
Anteriormente, ya avanzamos este concepto y obtuvimos el siguiente resultado:

Figura 9 (Click para ampliar)

Para el circuito de la Fig. 9 se obtiene el siguiente resultado

Ecuacion 17

Hemos trabajado (sin mencionarlo) con admitancias operacionales, por lo que el resultado es válido tanto para resistencias, como para condensadores y bobinas, como vamos a pasar a comprobar.

Resistencias:
En este caso se cumplirá:

Ecuacion 18

Bobinas:
La ecuación 17 nos dice que

Ecuacion 19

con lo que, sacando factor común el operador D, podemos poner que

Ecuacion 20

Condensadores:
Ahora, la ecuación 17 nos indica

Ecuacion 21

de donde, sacando factor común 1/D quedará:

Ecuacion 22

Asociación Paralelo
Ya se ha visto anteriorarmente, por lo que volvemos a reproducir aquí los resultados allí obtenidos.

Figura 10 (Click para ampliar)

Para un circuito paralelo como el de la Fig. 10, se llegaba a que la admitancia total equivalente era igual a la suma de las admitancias individuales.

Ecuacion 23

De nuevo, este resultado es para admitancias operacionales, con lo que podemos sustituir para cada caso particular:

Resistencias:
Ahora se tiene

Ecuacion 24

o sea

Ecuacion 25

Bobinas:
De igual manera

Ecuacion 26

de donde, al sacar factor común 1/D, obtenemos

Ecuacion 27

Condensadores:
Ahora tenemos que

Ecuacion 28

y, sacando factor común el operador D llegamos a que

Ecuacion 29

Asociación Estrella-Triángulo

Hay ciertas asociaciones de elementos pasivos que aparecen frecuentemente en la Ingeniería Eléctrica y que no se pueden simplificar directamente ya que no corresponden simplemente a asociaciones de impedancias en serie o paralelo. Estas redes generalmente requieren una transformación de una red estrella a una red triángulo o viceversa. Además, estas dos configuraciones tienen una importancia fundamental ya que son las dos posibilidades de conexión de cargas trifásicas.

Figura 11 (Click para ampliar)

En la Fig. 11 se muestran estas redes pasivas, cuyos terminales de acceso exterior se han denominado 1, 2 y 3 y que tienen la misma situación "topográfica". La conexión estrella representa tres impedancias Z1, Z2 y Z3, que parten de los tres nudos de acceso externo 1, 2 y 3 y que se unen en un punto común (Fig. 11a). La conexión triángulo está formada por tres impedancias ZA, ZB y ZC, que unen los diversos nudos dando la apariencia geométrica de un triángulo (Fig. 11b).
Necesitamos ahora buscar las leyes de transformación de una red en la otra, de tal modo que ambos circuitos sean equivalentes desde el punto de vista externo, es decir, desde los nudos 1, 2 y 3.

Está claro que si las dos redes son equivalentes deberán consumir las mismas corrientes cuando se aplican las mismas tensiones externas, lo que equivale a decir en términos de impedancia, que las impedancias que se observan entre los diferentes terminales 1-2, 2-3 y 3-1 deben ser idénticas para ambos montajes y, por consiguiente, se deben satisfacer las siguientes igualdades:

Tabla 1 (Click para ampliar)

El símbolo || en las expresiones anteriores expresa la conexión en paralelo de la impedancia que tiene delante con la que tiene detrás. Para escribir las igualdades anteriores se ha tenido en cuenta que, para la estrella, se observan desde cada par de terminales, dos impedancias en serie con la restante en paralelo. Las ecuaciones anteriores se pueden resolver para obtener los valores de Z1, Z2 y Z3, en función de ZA, ZB y ZC, o a la inversa, resultando:

Transformación triángulo-estrella
En este caso se conocen los valores de ZA, ZB y ZC, del triángulo y deseamos calcular los equivalentes Z1, Z2 y Z3, de la estrella. El proceso de resolución es simple a partir de las ecuaciones del cuadro, llegando a

Ecuacion 30

Cada una de las ecuaciones anteriores responde a la forma:

Ecuacion 31

que nos da la regla nemotécnica simple para recordar las equivalencias triángulo-estrella.

Transformación Estrella-Triángulo

En este caso se conocen los valores de las impedancias Z1, Z2 y Z3, de la estrella y se desean calcular los valores equivalentes de ZA, ZB y ZC, del triángulo. El proceso de resolución consisten en dividir dos a dos las ecuaciones del cuadro y sustituyendo en la restante. El resultado es:

Ecuacion 32

Ecuacion 33

Ecuacion 34

Cada una de esas ecuaciones responden a la expresión:

Ecuacion 35

Las transformaciones anteriores se utilizan con gran frecuencia en el análisis de circuitos, ya que permiten simplificar ciertas redes en las que las impedancias no están conectadas de forma simple en serie o en paralelo.

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