Elementos Pasivos

Elementos pasivos son aquellos componentes de los circuitos, que disipan o almacenan energía eléctrica o magnética y constituyen por ello los receptores o cargas de un circuito.
Estos elementos son modelos matemáticos lineales e ideales de los elementos físicos del circuito que, individualmente, pueden presentar las siguientes propiedades:
  • disipación de energía eléctrica (R: resistencia);
  • almacenamiento de energía en campos magnéticos (L: coef. de autoinducción);
  • almacenamiento de energía en campos eléctricos (C: capacidad).
Las tres propiedades pueden darse en mayor o menor grado en el comportamiento de un componente de un circuito real, por ello las características de los componentes prácticos pueden sintetizarse por medio de una adecuada combinación de R, L y C. El término resistencia o resistor se utiliza para caracterizar un componente de un circuito cuyo comportamiento se aproxima idealmente a un elemento R puro. El término bobina o inductor se refiere a un componente de un circuito cuya principal característica es la inductancia. El condensador indica un componente cuyo comportamiento se aproxima idealmente a un elemento C puro.
Los elementos R, L y C se suponen ideales, lo cual quiere decir que cada uno tiene unas propiedades únicas e independientes de las características de los otros, y además implica que las relaciones existentes entre la tensión y corriente en cada uno son lineales, es decir, las relaciones v-i consisten en ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Los valores R, L y C se supondrán también independientes de la frecuencia y de las amplitudes de tensión y corriente. El término pasivo indica que los elementos no contienen generadores, y en consecuencia, no puede aparecer ninguna tensión y corriente entre sus terminales si no se aplica (o se ha aplicado con anterioridad) una fuente de energía exterior. La propiedad eléctrica asociada con cada elemento R, L y C se considera como una unidad concentrada individual localizada en un punto del circuito, aunque de hecho en un componente práctico como es el caso de una resistencia, la disipación de energía se produzca a lo largo de toda su longitud física. La suposición de elementos concentrados implica que el efecto que se produce al conectar una fuente se propaga instantáneamente a todo el circuito y la corriente resultante en un componente determinado es la misma en todas sus partes en cualquier instante de tiempo. Tal suposición simplifica enormemente el análisis de redes y es válida siempre que las dimensiones de los elementos individuales y de todo el circuito, sean muy pequeñas (campos cuasiestacionarios); en caso contrario se ha de reconocer la limitación del término de elemento concentrado y se debe tener en cuenta la naturaleza real de parámetros distribuidos (en la técnica de Electrotecnia sólo aparecen circuitos con parámetros distribuidos al estudiar líneas de transporte de longitud superior a 300Kms); incluso puede suceder que a muy altas frecuencias, como ocurre con el caso de las microondas no puedan aplicarse los conceptos de circuito desarrollados en este tema y se deban emplear directamente las ecuaciones de Maxwell como expresiones más generales que describen cualquier fenómeno electromagnético. Comenzaremos viendo las características ideales de estos elementos, para terminar estudiando lo que ocurre en la realidad.


Resistencia

Como ya se ha indicado en los párrafos anteriores, la resistencia es el elemento del circuito en el que se disipa energía eléctrica.
En la Fig. 4a se muestra el símbolo de la resistencia eléctrica, en el que se incluye el valor de la misma en ohmios y los sentidos de referencia asociados de tensión y corriente.
En el caso de que la resistencia sea variable se empleará el símbolo de la Fig. 4b (indicando el rango de variación de la misma).

Figura 4 (Click para ampliar)

De acuerdo con la ley de Ohm, la relación entre la tensión y la corriente en una resistencia vale:

Ecuacion 2

La relación matemática anterior es únicamente válida para las polaridades mostradas en la Fig. 4.
De este modo se observa que si i(t)>0 (la corriente entra por el terminal A), entonces v(t)>0, lo que significa que la corriente entra por el terminal de mayor potencial A y se traslada al de menor potencial B. Si suponemos que i(t)<0 (corriente entra por el terminal B), entonces v(t)<0 y el terminal B tiene mayor potencial que el terminal A. De nuevo, otra vez, la corriente entra por el terminal cuyo potencial es mayor. Como quiera que la corriente circula por la resistencia de mayor a menor potencial, se tendrá un consumo de potencia en este elemento cuyo valor será:

Ecuacion 3

expresión que representa la potencia disipada por efecto Joule.
El valor de la resistencia se mide en ohm y se simboliza con la letra griega omega mayúscula (Ω)
La inversa de la resistencia se denomina conductancia y se designa por la letra G, de tal forma que se cumple:

Ecuacion 4

la unidad de conductancia es el siemens (en EEUU le dan el nombre de mho, que es la palabra ohm escrita al revés, y también la simbolizan con la letra griega omega boca abajo). Una expresión alternativa de la ley de Ohm en función de la conductancia es:

Ecuacion 5

de tal modo que la potencia toma la forma:

Ecuacion 6

El concepto de resistencia se utiliza también para definir dos términos muy comunes en teoría de circuitos: cortocircuitos y circuito abierto. Un cortocircuito es un conductor ideal que se une entre dos puntos, haciendo de este modo que su resistencia sea cero ohmios. El cortocircuito puede llevar cualquier corriente cuyo valor depende del resto del circuito, pero la tensión entre sus terminales es de cero voltios. Al contrario, un circuito abierto representa una ruptura del circuito en ese punto, por lo que no puede circular corriente. Se puede considerar como un circuito con resistencia infinita y que puede tener cualquier tensión que depende del resto de la red.


Condensador

Es el elemento del circuito capaz de almacenar energía eléctrica.
En la Fig. 5 se muestra el símbolo del condensador, en el que se incluye la capacidad en faradios y los sentidos asociados de tensión y corriente. En el caso de que el condensador sea variable se empleará el símbolo de la Fig. 5b.

Figura 5 (Click para ampliar)

La relación entre la tensión aplicada y la corriente en un condensador es de acuerdo con la ecuación

Ecuacion 7

es decir, la corriente en un condensador es directamente proporcional a la variación de la tensión respecto del tiempo.
Un aumento de la tensión corresponde a una corriente positiva y una reducción de la tensión corresponde a una corriente negativa. Se observa que si v(t) es constante, entonces la corriente i(t) es igual a cero. De este modo, un condensador alimentado con una tensión continua (estacionaria) se comporta como un circuito abierto.
En esencia, podemos decir que un condensador bloquea la corriente DC y permite "pasar" la corriente AC (sobre todo cuanto mayor sea su frecuencia fundamental). De igual forma, podemos observar que la tensión entre las placas de un condensador nunca puede variar de forma instantánea, ya que ello exigiría una corriente infinita que lo destruiría.
La relación inversa a (7) se puede obtener integrando entre un tiempo inicial t0 y un tiempo final t:

Ecuacion 8

que al integrar nos da:

Ecuacion 9

Tomando el instante inicial t0 = 0 resulta:

Ecuacion 10

La expresión anterior indica que la tensión en el condensador en un tiempo t>0 es igual a la tensión inicial v(0) más la tensión desarrollada a partir de t=0.
El condensador tiene un efecto de memoria ya que los valores pasados de la corriente afectan los valores actuales de la tensión.
Al aplicar una tensión a un condensador se produce una separación de cargas entre ambas placas o armaduras, lo que produce un campo eléctrico, quedando almacenada una energía de este tipo.
La potencia absorbida por el condensador será:

Ecuacion 11

y la energía almacenada entre 0 y t segundos será igual a

Ecuacion 12



Bobina de Inducción


Es el elemento del circuito, capaz de almacenar energía magnética.
Se representa por el símbolo de la Fig. 6a ó la Fig. 6b según sea el valor del coeficiente de autoinducción fijo o variable.

Figura 6 (Click para ampliar)

La relación entre la tensión aplicada y la corriente en una bobina es

Ecuacion 13

la relación anterior es únicamente válida para las polaridades mostradas en la Fig. 6. La d.d.p. en bornes de la bobina es directamente proporcional a la variación de la corriente respecto al tiempo. El factor de proporcionalidad es la inductancia de la bobina L en henrios. Con el convenio de signos adoptado, podemos comprobar que un aumento de la corriente corresponde a una tensión positiva y una reducción de la corriente da lugar a una tensión negativa.
Se observa que si i(t) es constante, entonces la tensión v(t) es cero. De este modo, una bobina alimentada con corriente continua (estacionaria) actúa como un cortocircuito. Si, en cambio, la corriente i(t) cambia con rapidez, se obtendrá una fuerte tensión entre los terminales. Queda claro así que una bobina no puede cambiar bruscamente la corriente que circula por ella, porque este hecho daría lugar a una tensión infinita en bornes, cosa físicamente imposible.
La relación inversa a la (13) se puede obtener por integración entre un tiempo inicial t0 y un tiempo final t, resultando:

Ecuacion 14

que, al integrar, nos da:

Ecuacion 15

de donde, tomando t0 =0 resulta:

Ecuacion 16

La expresión anterior indica que la corriente en la bobina es un tiempo t>0 es igual a la corriente inicial i(0) más la corriente que se desarrolla a partir de t=0.
Como quiera que la tensión está relacionada con el flujo Ψ(t) concatenado por la bobina se tiene:

Ecuacion 17

con lo que la integral (16) representa el flujo concatenado por la bobina, que al dividir por la L nos da la corriente. Analizando dicha ecuación se observa que la bobina tiene un efecto de memoria, ya que la corriente en un tiempo t depende no solamente de la entrada i(t) en ese momento sino también del valor pasado de la entrada.
Para establecer un flujo en una bobina es necesario una energía de entrada, que queda almacenada después en el campo magnético. Puede demostrarse que la potencia "absorbida" por la bobina será igual a:

Ecuacion 18

y la energía almacenada en un intervalo de tiempo comprendido entre 0 y t valdrá:

Ecuacion 19



Bobinas en Acoplamiento Magnético

En la Fig. 7 se representan en esquema dos bobinas con acoplamiento magnético.

Figura 7 (Click para ampliar)

Para la Fig. 7a se cumple el sistema de ecuaciones:

Ecuacion 20

y para la Fig. 7b se cumple el sistema:

Ecuacion 21

donde L1 y L2 son las inductancias propias o autoinductancias de cada bobina y M es la inductancia mutua, medida como las otras, en henrios, si las tensiones y las intensidades vienen dadas en voltios y amperios, respectivamente.
Puede demostrarse que:

Ecuacion 22

siendo k el llamado coeficiente de acoplamiento.
En el caso general de n bobinas acopladas magnéticamente, da lugar al sistema de n ecuaciones

Ecuacion 23

y siendo Mii = Li ; Mij = Mji

El signo de cada término dependerá de las referencias que se tomen para u e i y de los terminales que sean correspondientes entre cada par de bobinas.
Las ecuaciones (20) también se pueden escribir en función de las inductancias de dispersión S de cada bobina y del flujo medio común a ambas bobinas debido a todas las intensidades o flujo mutuo Φm de la forma

Ecuacion 24

que es la usual en el estudio de los transformadores en los sistemas de transporte y distribución de energía eléctrica.
Obviamente N1 y N2 son el número de espiras de cada bobina y también se tienen las relaciones:

Ecuacion 25

(k1 y k2 son constantes de cada bobina, que miden el aprovechamiento de los flujos).



Transformador

Se llama transformador ideal a dos bobinas acopladas magnéticamente que cumplen las condiciones siguientes:
a) Los devanados, como en toda bobina ideal, se consideran carentes de resistencia.
b) El medio donde se produce el campo magnético carece de histéresis y no se originan en él corrientes inducidas, es decir, no hay pérdidas de energía en este medio.
c) No existe dispersión de flujo, o sea, el coeficiente de acoplamiento es la unidad (k=1).
d) El medio que conduce el campo magnético es de permeabilidad infinita, esto es, la relación Φ / i = ∞.
e) Las capacidades propias y mutuas de los devanados se consideran nulas.

Esquemáticamente, un transformador ideal se representa como en la Fig. 8.

Figura 8 (Click para ampliar)

Para las referencia de la Fig. 8a se verifica:

Ecuacion 26

y para la Fig. 8b:

Ecuacion 27

fórmulas en las que la relación de transformación es a = N1 / N2, siendo N1 y N2 los números de espiras de las bobinas 1 y 2, respectivamente.
Puede verse que:

Ecuacion 28

de donde:

Ecuacion 29

que nos dice que la tensión por espira en cada devanado es la misma.
Es interesante ver la similitud que existe entre un circuito eléctrico resistivo y un circuito magnético. Esto podemos verlo en la Fig. 9, en la cual es fácil ver que existe un paralelismo entre la fuerza electromotriz e y la fuerza magnetomotriz F; la resistencia R y la reluctancia R y, finalmente, entre la corriente i con el flujo Φ.
Recordemos que se define como fuerza magnetomotriz de una bobina al producto del número de espiras por la intensidad que circula por ella, es decir: F=N.i

Figura 9

Por tanto, para las bobinas acopladas de la Fig. 8a le corresponderá el símil del circuito eléctrico de la Fig. 10.

Figura 10

Las referencias de ambas fuentes de tensión son las indicadas, ya que las intensidades i1 e i2 (Fig. 8a) crean flujos del mismo sentido, pues entran por terminales correspondientes.
En el circuito de la Fig. 10 se verifica:

Ecuacion 30

De igual manera, para el circuito de la Fig. 8b, el circuito símil eléctrico es el mismo, pero con la polaridad de N2Ai2 cambiada (+ arriba), con lo que se cumpliría en este otro caso:

Ecuacion 31

En nuestro caso, como el transformador es ideal, la permeabilidad del medio es infinita y ésta es inversamente proporcional a la reluctancia, con lo que el circuito magnético tiene reluctancia nula. Por tanto, en el símil de circuito eléctrico le corresponderá como una resistencia nula, es decir, un cortocircuito, con lo que en este caso, de la ecuación (30) se obtiene la conocida relación para las intensidades:

Ecuacion 32

(para la Fig. 8b, no aparecería el signo negativo en la ecuación).
Podemos indicar que, en general, para un transformador ideal, la suma de las fuerzas magnetomotrices es nula. También puede obtenerse que

Ecuacion 33

de donde vemos que el flujo Nm de un transformador ideal al que conectamos una fuente ideal de tensión de valor u1 entre sus terminales 1 y 1' es independiente de las intensidades que circulan por cada una de las bobinas acopladas.
Los transformadores reales con núcleo de hierro tienen un comportamiento muy aproximado del transformador ideal. Se utilizan para variar las magnitudes de u e i con que se transmite la energía o una señal eléctrica.
Un trasformador no puede utilizarse con corriente continua, la constancia de u exigiría que Nm creciera indefinidamente, condición irrealizable.
Se llama primario de un transformador al devanado que recibe la energía eléctrica y que está conectado directamente o por medio de una línea a una fuente eléctrica. Secundario es el devanado conectado al sistema receptor. Se suele representar el primario a la izquierda y el secundario a la derecha, sin que haya razón especial para ello.

La fuerza magnetomotriz total del transformador ideal (N1Ai1 ± N2Ai2), según los casos, sólo puede tender a cero cuando la reluctancia tienda a dicho valor, es decir, cuando: μ→∞. Esto se conseguirá con más precisión cuanto más alto sea el valor de :, o sea, empleando núcleo de hierro.
Obsérvese que, de acuerdo con las ecuaciones (26) y (27), i2 es tal que proporciona un flujo que se opone al producido por i1. Ambos flujos son prácticamente iguales en valor absoluto, ya que siendo cantidades infinitas difieren en Φm , que es finita (lo que concuerda con la Ley de Lenz).

Los parámetros de un transformador ideal verifican unas relaciones que conviene recordar:

Ecuacion 34

además de:

Ecuacion 35

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